יחסים ויחס שקילות
לפני שמגדירים יחס נזכיר מהי מכפלה קרטזית: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות A,B היא אוסף כל הזוגות הסדורים [math]\displaystyle{ A\times B=\{(a,b)\mid a\in A \and b\in B\} }[/math], כאשר בזוג סדור (בשונה מקבוצה) הסדר משנה. יחס R מ-A ל-B הוא תת-קבוצה של [math]\displaystyle{ A\times B }[/math], ובמקרה הפרטי שבו B=A מדברים על יחס על A. הנושא (פרק 3 בקורס - אחרי תורת הקבוצות ולפני פרק הפונקציות) הוא הבסיס לכל מבנה שמדבר על "שקילות" בין אובייקטים, למשל בניית הרציונליים מזוגות שלמים שקולים, או חלוקת מספרים למחלקות שארית. בחיפושים מכנים את הנושא גם יחסי שקילות, מחלקות שקילות, קבוצת מנה, חלוקה של קבוצה, ואת המקרה הקרוב אך שונה מהותית - יחס סדר.
הגדרה
יהי R יחס על קבוצה A (כלומר [math]\displaystyle{ R\subseteq A\times A }[/math]), ונרשום [math]\displaystyle{ aRb }[/math] במקום [math]\displaystyle{ (a,b)\in R }[/math]. אומרים ש-R:
- רפלקסיבי אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ aRa }[/math].
- סימטרי אם לכל [math]\displaystyle{ a,b\in A }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ aRb }[/math] מתקיים גם [math]\displaystyle{ bRa }[/math].
- אנטי-סימטרי אם לכל [math]\displaystyle{ a,b\in A }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ aRb\and bRa }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a=b }[/math].
- טרנזיטיבי אם לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in A }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ aRb \and bRc }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ aRc }[/math].
- מלא אם לכל [math]\displaystyle{ a,b\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ aRb\or bRa }[/math].
יחס שקילות על A הוא יחס שהוא רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי.
לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מגדירים את מחלקת השקילות של a ביחס ל-R:
- [math]\displaystyle{ [a]_R=\{x\in A\mid aRx\} }[/math]
ואת אוסף כל מחלקות השקילות, קבוצת המנה, מסמנים:
- [math]\displaystyle{ A/R=\{[a]_R : a\in A\} }[/math]
קבוצת תתי-קבוצות [math]\displaystyle{ U\subseteq P(A) }[/math] נקראת חלוקה של A אם [math]\displaystyle{ \bigcup_{X\in U}X=A }[/math], [math]\displaystyle{ \emptyset\notin U }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ X_1,X_2\in U }[/math] שונות מתקיים [math]\displaystyle{ X_1\cap X_2=\emptyset }[/math] (כלומר איחודן הוא כל A, והן זרות בזוגות).
יחס סדר חלקי על A הוא יחס שהוא רפלקסיבי, אנטי-סימטרי וטרנזיטיבי - ההבדל היחיד מיחס שקילות הוא שהסימטריה מוחלפת באנטי-סימטריה. אם בנוסף היחס מלא, הוא נקרא יחס סדר מלא. דוגמאות: [math]\displaystyle{ \leq }[/math] על הממשיים (מלא), ההכלה [math]\displaystyle{ \subseteq }[/math] על [math]\displaystyle{ P(A) }[/math], והיחס "מחלק את" על הטבעיים (סדר חלקי אך לא מלא - 2 ו-3 אינם ניתנים להשוואה). המשך הנושא - איברים מינימליים/מקסימליים, שרשראות וחסמים - מפורט בדף נפרד.
משפטים ותכונות
משפט (מחלקות שקילות זרות או שוות). יהי R יחס שקילות על A. לכל [math]\displaystyle{ a,b\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ [a]_R=[b]_R }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ aRb }[/math], ואחרת [math]\displaystyle{ [a]_R\cap[b]_R=\emptyset }[/math]. בפרט [math]\displaystyle{ \bigcup_{a\in A}[a]_R=A }[/math] - כלומר קבוצת המנה של יחס שקילות היא תמיד חלוקה של A (זו בדיוק התשובה לשאלה: כן, כל יחס שקילות מגדיר חלוקה).
הוכחה (שרטוט): אם [math]\displaystyle{ aRb }[/math] ו-[math]\displaystyle{ x\in[a]_R }[/math] אז [math]\displaystyle{ aRx }[/math], ולפי סימטריות [math]\displaystyle{ xRa }[/math], ולפי טרנזיטיביות עם [math]\displaystyle{ aRb }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ xRb }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ x\in[b]_R }[/math]; אותו טיעון בכיוון ההפוך נותן [math]\displaystyle{ [a]_R=[b]_R }[/math]. אם החיתוך [math]\displaystyle{ [a]_R\cap[b]_R }[/math] אינו ריק, קיים [math]\displaystyle{ c }[/math] בשניהם, ומסימטריות וטרנזיטיביות מקבלים [math]\displaystyle{ aRb }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ [a]_R=[b]_R }[/math]. הרפלקסיביות נותנת [math]\displaystyle{ a\in[a]_R }[/math] לכל a, ולכן איחוד כל המחלקות הוא A. ההוכחה המלאה והמפורטת - בסרטון "יחסי שקילות".
משפט (הכיוון ההפוך - חלוקה משרה יחס שקילות). תהי U חלוקה של A. נגדיר [math]\displaystyle{ aRb }[/math] אם ורק אם קיימת [math]\displaystyle{ X\in U }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ a,b\in X }[/math]. אזי R הוא יחס שקילות על A, וקבוצת המנה שלו היא בדיוק U. יחד, שני המשפטים אומרים שיש התאמה חד-חד-ערכית ועל בין יחסי שקילות על A לבין חלוקות של A. הוכחה מלאה - בסרטון.
הערה (הקשר ליחס סדר). אם R הוא גם יחס שקילות וגם יחס סדר חלקי (כלומר סימטרי וגם אנטי-סימטרי בו-זמנית) אז בהכרח R הוא יחס הזהות [math]\displaystyle{ I_A=\{(a,a):a\in A\} }[/math], ואין לו שום מחלקת שקילות גדולה מאיבר בודד. זה ממחיש היטב למה שני סוגי היחסים מייצגים רעיונות שונים לגמרי: שקילות מקבצת איברים יחד, ואילו סדר יוצר היררכיה ביניהם.
שיטה / איך מוכיחים
כדי להוכיח שיחס נתון R על A הוא יחס שקילות בודקים בנפרד את שלוש התכונות, כל פעם ישירות לפי הגדרת R:
- רפלקסיביות: לוקחים איבר כללי ("יהי [math]\displaystyle{ a\in A }[/math]") ומראים ישירות מהגדרת R כי [math]\displaystyle{ aRa }[/math].
- סימטריות: מניחים [math]\displaystyle{ aRb }[/math] (עבור a,b כלליים) ומראים כי מכך נובע [math]\displaystyle{ bRa }[/math].
- טרנזיטיביות: מניחים [math]\displaystyle{ aRb }[/math] וגם [math]\displaystyle{ bRc }[/math] ומראים כי מכך נובע [math]\displaystyle{ aRc }[/math].
שימו לב: אם אין בכלל זוגות שמקיימים את הנחת הסימטריות/הטרנזיטיביות, התכונה מתקיימת באופן ריק - ראו "טעויות נפוצות" למטה.
כדי למצוא את מחלקת השקילות של איבר נתון [math]\displaystyle{ a }[/math]: כותבים את התנאי [math]\displaystyle{ aRx }[/math] באופן מפורש כתנאי על x, ולרוב כדאי לנחש את התשובה מתוך כמה דוגמאות מספריות (הצבת ערכים קטנים) ואז להוכיח אותה בהכלה דו-כיוונית: (1) כל x שמקיים את התנאי המנוחש שייך ל-[math]\displaystyle{ [a]_R }[/math], וגם (2) כל [math]\displaystyle{ x\in[a]_R }[/math] מקיים את התנאי המנוחש.
כדי לתאר את כל קבוצת המנה [math]\displaystyle{ A/R }[/math]: מוצאים נציג אחד מכל "סוג" של איברים שקולים, ומראים שכל איבר בקבוצה שקול לנציג של בדיוק אחד מהם (כלומר משתמשים במשפט שמחלקות השקילות זרות או שוות, כדי לוודא שלא פספסנו ושלא ספרנו כפול).
דוגמאות
1. יחס שקילות "טבעי" - אותו שם משפחה. תהי A קבוצת אנשים, ונגדיר [math]\displaystyle{ aRb }[/math] אם ל-a ול-b אותו שם משפחה. R רפלקסיבי (לכל אדם אותו שם משפחה כמו לעצמו), סימטרי (אם ל-a,b אותו שם משפחה אז גם ל-b,a), וטרנזיטיבי (אם ל-a,b אותו שם וגם ל-b,c אותו שם, גם ל-a,c אותו שם) - ולכן יחס שקילות. מחלקות השקילות הן המשפחות (כל בני אותה משפחה יחד), וקבוצת המנה היא אוסף כל המשפחות.
2. שקילות מודולו 2 על השלמים. על [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] מגדירים [math]\displaystyle{ aRb\iff 2\mid(a-b) }[/math].
- רפלקסיביות: [math]\displaystyle{ a-a=0=2\cdot 0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ 2\mid(a-a) }[/math].
- סימטריות: אם [math]\displaystyle{ a-b=2k }[/math] אז [math]\displaystyle{ b-a=2(-k) }[/math], ולכן גם מתחלק ב-2.
- טרנזיטיביות: אם [math]\displaystyle{ a-b=2k }[/math] וגם [math]\displaystyle{ b-c=2m }[/math] אז [math]\displaystyle{ a-c=2(k+m) }[/math].
לכן R יחס שקילות. מחלקת השקילות של 1 היא כל המספרים האי-זוגיים (כי [math]\displaystyle{ x-1 }[/math] זוגי בדיוק כש-x אי-זוגי), ומחלקת השקילות של 0 היא כל המספרים הזוגיים. קבוצת המנה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/R }[/math] מכילה שתי מחלקות בלבד: הזוגיים והאי-זוגיים.
3. יחס שקילות על הממשיים לפי הפרש שלם. על [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] מגדירים [math]\displaystyle{ xTy\iff x-y\in\mathbb{Z} }[/math]. בדיוק כמו בדוגמה הקודמת (רפלקסיביות מ-[math]\displaystyle{ x-x=0\in\mathbb{Z} }[/math], וסימטריות וטרנזיטיביות מסגירות החיבור והכפל ב-[math]\displaystyle{ -1 }[/math] של השלמים) T הוא יחס שקילות. מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של x היא [math]\displaystyle{ \{x+n : n\in\mathbb{Z}\} }[/math], ולכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{R} }[/math] קיים נציג יחיד בקטע [math]\displaystyle{ [0,1) }[/math] - והוא [math]\displaystyle{ x-\lfloor x\rfloor }[/math] (הערך התחתון). לכן קבוצת המנה [math]\displaystyle{ \mathbb{R}/T }[/math] "נראית" בדיוק כמו הקטע [math]\displaystyle{ [0,1) }[/math], או כמו מעגל אם מדביקים את שתי קצוותיו.
4. יחס סדר לעומת יחס שקילות - ההבדל למעשה. על [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] היחס "מחלק את" ([math]\displaystyle{ a\mid b }[/math]) הוא רפלקסיבי, אנטי-סימטרי וטרנזיטיבי - יחס סדר חלקי (לא מלא: 2 ו-3 אינם ניתנים להשוואה). לעומת זאת אותו יחס בדיוק על [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] אינו אנטי-סימטרי: [math]\displaystyle{ 3\mid(-3) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ (-3)\mid 3 }[/math], אך [math]\displaystyle{ 3\neq -3 }[/math] - ולכן על השלמים "מחלק את" אינו יחס סדר בכלל. זו דוגמה טובה לכך שאנטי-סימטריה (המייצרת סדר) וסימטריה (המייצרת שקילות), הן תכונות שונות לגמרי ואי אפשר "לפספס קצת" באף אחת מהן.
שאלות תרגול
שאלה 1. על הקבוצה [math]\displaystyle{ A=\{1,2,3,4,5,6\} }[/math] מגדירים [math]\displaystyle{ xRy\iff 3\mid(x-y) }[/math]. הוכיחו כי R יחס שקילות, ומצאו את [math]\displaystyle{ A/R }[/math].
פתרון
רפלקסיביות: [math]\displaystyle{ x-x=0=3\cdot 0 }[/math]. סימטריות: אם [math]\displaystyle{ x-y=3k }[/math] אז [math]\displaystyle{ y-x=3(-k) }[/math]. טרנזיטיביות: אם [math]\displaystyle{ x-y=3k }[/math] וגם [math]\displaystyle{ y-z=3m }[/math] אז [math]\displaystyle{ x-z=3(k+m) }[/math]. לכן R יחס שקילות. בודקים ידנית אילו זוגות ב-A הפרשם מתחלק ב-3: [math]\displaystyle{ 1,4 }[/math] (הפרש 3), [math]\displaystyle{ 2,5 }[/math] (הפרש 3), [math]\displaystyle{ 3,6 }[/math] (הפרש 3) - ולכן [math]\displaystyle{ A/R=\{\{1,4\},\{2,5\},\{3,6\}\} }[/math].
שאלה 2. על [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] מגדירים [math]\displaystyle{ xRy\iff x^2=y^2 }[/math]. בדקו האם R יחס שקילות, ואם כן מצאו את [math]\displaystyle{ [3]_R }[/math] ואת [math]\displaystyle{ [0]_R }[/math].
פתרון
רפלקסיביות: [math]\displaystyle{ x^2=x^2 }[/math] תמיד. סימטריות: אם [math]\displaystyle{ x^2=y^2 }[/math] אז גם [math]\displaystyle{ y^2=x^2 }[/math]. טרנזיטיביות: אם [math]\displaystyle{ x^2=y^2 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ y^2=z^2 }[/math] אז [math]\displaystyle{ x^2=z^2 }[/math]. אלו שלוש טענות שוויון רגילות, ולכן R יחס שקילות. [math]\displaystyle{ [3]_R=\{3,-3\} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ [0]_R=\{0\} }[/math].
שאלה 3. על [math]\displaystyle{ \mathbb{R}\times\mathbb{R} }[/math] מגדירים [math]\displaystyle{ (x_1,y_1)\sim(x_2,y_2)\iff x_1+y_1=x_2+y_2 }[/math]. הוכיחו שזהו יחס שקילות, ותארו גיאומטרית את מחלקת השקילות של [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math] ואת קבוצת המנה.
פתרון
כמו בשאלה הקודמת, שלוש התכונות נובעות משוויון רגיל של המספר הממשי [math]\displaystyle{ x+y }[/math], ולכן זהו יחס שקילות. מחלקת השקילות של [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math] היא כל הנקודות המקיימות [math]\displaystyle{ x+y=2 }[/math], כלומר הישר [math]\displaystyle{ y=-x+2 }[/math]. באופן כללי כל מחלקת שקילות היא ישר בשיפוע [math]\displaystyle{ -1 }[/math], וקבוצת המנה מתאימה בדיוק לערך האפשרי של [math]\displaystyle{ x+y\in\mathbb{R} }[/math].
שאלה 4. על [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] נתונים שני יחסים: [math]\displaystyle{ xQy\iff x-y=17 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ xSy\iff x-y\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z} }[/math]. בדקו לכל אחד מהם האם הוא יחס שקילות.
פתרון
Q אינו רפלקסיבי: לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{R} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ x-x=0\neq 17 }[/math], ולכן Q נכשל כבר בתכונה הראשונה. S אינו טרנזיטיבי: למשל [math]\displaystyle{ 2S6 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ 2-6=-4\in 2\mathbb{Z} }[/math]) וגם [math]\displaystyle{ 6S3 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ 6-3=3\in 3\mathbb{Z} }[/math]), אבל [math]\displaystyle{ 2-3=-1\notin 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ 2\not S3 }[/math] - ולכן S אינו יחס שקילות.
שאלה 5. הוכיחו: אם R יחס סדר חלקי על A, אז גם היחס ההופכי [math]\displaystyle{ R^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in R\} }[/math] הוא יחס סדר חלקי על A.
פתרון
רפלקסיביות: לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (a,a)\in R }[/math], ולכן גם [math]\displaystyle{ (a,a)\in R^{-1} }[/math]. אנטי-סימטריות: אם [math]\displaystyle{ (a,b),(b,a)\in R^{-1} }[/math] אז [math]\displaystyle{ (b,a),(a,b)\in R }[/math], ומאנטי-סימטריות של R נובע [math]\displaystyle{ a=b }[/math]. טרנזיטיביות: אם [math]\displaystyle{ (a,b),(b,c)\in R^{-1} }[/math] אז [math]\displaystyle{ (b,a),(c,b)\in R }[/math], ולכן מטרנזיטיביות של R (בסדר ההפוך) נובע [math]\displaystyle{ (c,a)\in R }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ (a,c)\in R^{-1} }[/math].
טעויות נפוצות
- לבדוק רפלקסיביות/סימטריות/טרנזיטיביות רק על דוגמה אחת או שתיים, ולא להוכיח עבור איבר/זוג כללי - חובה להוכיח "לכל", לא רק לבדוק דוגמה בודדת.
- לשכוח שתכונה כמו טרנזיטיביות (או סימטריות) מתקיימת באופן ריק כשאין זוגות שמקיימים את הנחת התנאי - למשל [math]\displaystyle{ R=\{(1,2),(3,4)\} }[/math] טרנזיטיבי, כי אין בכלל זוג [math]\displaystyle{ (a,b),(b,c)\in R }[/math] לבדוק.
- לבלבל בין "לא סימטרי" ל"אנטי-סימטרי" - יחס יכול להיות לא סימטרי בלי להיות אנטי-סימטרי (ולהפך); אלה לא שלילה זו של זו.
- למצוא מחלקת שקילות רק על ידי ניחוש, בלי להוכיח את שני כיווני ההכלה.
- לחשוב שמחלקות שקילות יכולות להצטלב חלקית - הן תמיד זרות לחלוטין או זהות לגמרי, אין אפשרות שלישית.
- להתבלבל בין יחס שקילות (רפלקסיבי+סימטרי+טרנזיטיבי) ליחס סדר (רפלקסיבי+אנטי-סימטרי+טרנזיטיבי) - התכונה שמבדילה ביניהם היא רק סימטריה מול אנטי-סימטריה, לא הרפלקסיביות או הטרנזיטיביות.
שאלות ממבחנים
- מועד א' קיץ תשפ"ו 2026, שאלה 3א — מבחן · פתרון (יחס S המוגדר לפי שוויון עוצמת קבוצות המקורות של f הוא יחס שקילות)
- מועד א' קיץ תשפ"ו 2026, שאלה 3ג-ד — מבחן · פתרון (קשר בין הפיכות f לבין S=R×R (בשני הכיוונים))
- מועד ב' קיץ תשפ"ו 2026, שאלה 3א — מבחן · פתרון (יחס S המוגדר לפי שוויון עוצמת אוסף המקורות של f הוא יחס שקילות)
- מועד ב' קיץ תשפ"ו 2026, שאלה 3ג-ד — מבחן · פתרון (קשר בין הפיכות f לבין S=R×R (בשני הכיוונים))
- מועד א' קיץ תשפ"ה 2025, שאלה 2 — מבחן · פתרון (יחס שקילות T על ℕ המוגדר לפי שוויון f(x)={n|2^(n-1)≤x}, ואפיון מחלקת השקילות [2^n]_T)
- מועד ב' קיץ תשפ"ה 2025, שאלה 4א — מבחן · פתרון (יחס שקילות T על N^N לפי קיום n עם f^n(1)=g^n(1))
- בוחן קיץ תשפ"ה 2025, שאלה 2 — מבחן · פתרון (יחס R על P(S×S) (S={1,...,100}); הוכחת יחס שקילות, הוכחה ששני יחסי סדר חלקי על S תמיד שקולים לפי R, ומציאת גודל קבוצת המנה P(S×S)/R)
- מועד א' קיץ תשפ"ד 2024, שאלה 2 — מבחן · פתרון (יחס שקילות המוגדר לפי a²-b²=3c על ℤ ומציאת מחלקות השקילות (ℤ=[0]∪[1]))
- מועד ב' קיץ תשפ"ד 2024, שאלה 5(א,ב) — מבחן · פתרון (יחס שקילות S המוגדר לפי שוויון תמונות הפוכות של f, והקשר |Img(f)|+1=|R/S| כש-f אינה על)
- מועד א' קיץ תשפ"ג 2023, שאלה 5ב — מבחן · פתרון (בניית יחס שקילות על קבוצה אינסופית שבו כל מחלקת שקילות בגודל 2, לפי |A|=|A|+|A|)
- מועד ב' קיץ תשפ"ג 2023, שאלה 4 — מבחן · פתרון (יחס שקילות על פונקציות ממשיות לפי התנהגות באינסוף, ועוצמת קבוצת נקודות שבת ומחלקת שקילות)
- בוחן קיץ תשפ"ג 2023, שאלה 3 — מבחן · פתרון (יחס S המוגדר מיחס R לפי S={(a,b)|∀c: (a,c)∈R→(c,b)∈R}: הקשר בין R,S ותכונת היות S/R יחס שקילות)
- בוחן קיץ תשפ"ב 2022, שאלה 3 — מבחן · פתרון (יחס ההרכבה R∘R על קבוצה: קשר לרפלקסיביות וטרנזיטיביות, ושימור/אי-שימור של יחס שקילות)
- מועד ב' קיץ תשפ"א 2021, שאלה 4 — מבחן · פתרון (יחס שקילות על פונקציות ממשיות לפי הרכבה עם הפיכות, ועוצמת מחלקות השקילות)
- בוחן קיץ תשפ"א 2021, שאלה 2 — מבחן · פתרון (יחס שקילות ~ המוגדר לפי חיתוך קטעים B(m,n) עם קבוצה A; מציאת A כך שלמחלקת המנה מבנה נתון; הכללה לאיחוד יחסי שקילות Rk לכל k טבעי)
- מועד א' קיץ תש"פ 2020, שאלה 3 — מבחן · פתרון (סגור שקילות (חיתוך כל יחסי השקילות המכילים R) - מציאת מחלקת שקילות ואיבר מינימלי בקבוצת יחסי השקילות המכילים)
הרשימה המלאה, לפי מבחן ולפי נושא: מתמטיקה בדידה/אינדקס שאלות.
סרטונים
מכפלה קרטזית, הגדרת יחס, ותכונות היחס (רפלקסיבי/סימטרי/אנטי-סימטרי/טרנזיטיבי/מלא) עם דוגמאות רבות, כולל ההוכחה שיחס סימטרי+אנטי-סימטרי+רפלקסיבי הוא יחס הזהות:
הגדרת יחס שקילות, ההוכחה המלאה שחלוקה משרה יחס שקילות (ולהפך), מחלקות שקילות וקבוצת המנה, ובניית הרציונליים מתוך זוגות שלמים שקולים:
יחסי סדר חלקי ומלא: ההגדרה, הדוגמאות ⊆ ו"מחלק את", וההוכחה שיחס סדר חלקי אינו בהכרח מלא:
איברים מינימליים ומקסימליים ביחס סדר חלקי (המשך הנושא, מודגש כאן כדי להבחין בבירור בין יחס סדר ליחס שקילות):
