83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(89 גרסאות ביניים של 5 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
[[קטגוריה:מערכי לימוד]]
=מבחנים מהעבר=
=מבחנים מהעבר=
*[[מדיה: BIU_Hedva1_15_A.pdf|מבחן מועד א תשע"ו]]
*[[מדיה: BIU_Hedva1_15_A.pdf|מבחן מועד א תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_A_sol.pdf|פתרון]]
**[[מדיה:BIU_Hedva1_15_A_sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BIU_Hedva1_15_B.pdf|מבחן מועד ב תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_BSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BIU_Hedva1_15_B.pdf|מבחן מועד ב תשע"ו]]
*[[מדיה:BIU_Hedva1_15_C.pdf|מבחן מועד ג תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_CSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:BIU_Hedva1_15_C.pdf|מבחן מועד ג תשע"ו]]
*[[מדיה:88112test2016.pdf |מבחן דמה תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dema_Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:88112test2016.pdf |מבחן דמה תשע"ו]]
*[[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dugma.pdf|מבחן לדוגמה תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dugma_Sol.pdf|פתרון]]
**[[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dema_Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17EngInfi1DumbTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]], [[מדיה:17EngInfi1DumbTestSol.pdf|פתרון עם תוספת של שאלות לא קשורות]]
*[[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dugma.pdf|מבחן לדוגמה תשע"ו]]
*[[מדיה:17EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ז]], [[מדיה:17EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
**[[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dugma_Sol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ז]], [[מדיה:17EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17EngInfi1DumbTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]]
*[[מדיה:17EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ז]], [[מדיה:17EngHedva1TestCSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ז]]
*[[מדיה:18Hedva1EngExmTest.pdf|מבחן דמה תשע"ח]], [[מדיה:18Hedva1EngExmTestSol.pdf|פתרון]]
**[[מדיה:17EngHedva1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשע"ז]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ח]], [[מדיה:18EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ז]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ח]], [[מדיה:18EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:17EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ז]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ח]], [[מדיה:18EngHedva1TestCSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:18Hedva1EngExmTest.pdf|מבחן דמה תשע"ח]]
*[[מדיה:19EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ט]], [[מדיה:19EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ח]]
*[[מדיה:19EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ט]], [[מדיה:19EngHedva1TestBRealSol.pdf|פתרון]]
**[[מדיה:18EngHedva1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשע"ח]]
*[[מדיה:19AvivEngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר אביב תשע"ט]], [[מדיה:19AvivEngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ח]]
*[[מדיה:19AvivEngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר אביב תשע"ט]], [[מדיה:19EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:18EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ח]]
*[[מדיה:20EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תש"ף]], [[מדיה:20EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:20EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תש"ף]], [[מדיה:20EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:21EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"א]], [[מדיה:21EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשפ"א]], [[מדיה:21EngHedva1TestCSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21AvivEngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר אביב תשפ"א]], [[מדיה:21AvivEngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:21AvivEngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר אביב תשפ"א]], [[מדיה:21AvivEngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22OdHedva1TestDumb.pdf|מבחן דמה אודיסאה תשפ"ב]], [[מדיה:22OdHedva1TestDumbSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22OdHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' אודיסאה תשפ"ב]], [[מדיה:22OdHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22OdHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' אודיסאה תשפ"ב]], [[מדיה:22OdHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ב]], [[מדיה:22EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ב]], [[מדיה:22EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשפ"ב]], [[מדיה:22EngHedva1TestCSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22AvivEngHedva1TestQ.pdf|מבחן אמצע סמסטר אביב תשפ"ב]], [[מדיה:22AvivEngHedva1TestQSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:22AvivEngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א סמסטר אביב תשפ"ב]]
*[[מדיה:22AvivEngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב סמסטר אביב תשפ"ב]], [[מדיה:22AvivEngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:23EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ג]], [[מדיה:23EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:23EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ג]], [[מדיה:23EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:23OdHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' אודיסאה תשפ"ג]], [[מדיה:23OdHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:23OdHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' אודיסאה תשפ"ג]], [[מדיה:23OdHedva1TestBSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:23OdHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' אודיסאה תשפ"ג]], [[מדיה:23OdHedva1TestCSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:23OdHedva1TestD.pdf|מבחן מועד ד' אודיסאה תשפ"ג]], [[מדיה:23OdHedva1TestDSol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:24OdHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' אודיסאה תשפ"ד]], [[מדיה:24OdHedva1TestASol.pdf|פתרון]]
*[[מדיה:24OdHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' אודיסאה תשפ"ד]],
*[[מדיה:24OdHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' אודיסאה תשפ"ד]],


=נושאי ההרצאות=
===בחנים===
שימו לב: נושאי ההרצאות יעודכנו במהלך הסמסטר לפי קצב ההתקדמות בפועל.
*[[מדיה:21EngHedva1Quiz.pdf|בוחן סמסטר ב' תשפ"א]], [[מדיה:21EngHedva1QuizSol.pdf|פתרון]]
==הרצאה 1==
*[[מדיה:22EngHedva1Quiz.pdf|בוחן סמסטר א' תשפ"ג]], [[מדיה:22EngHedva1QuizSol.pdf|פתרון]]
*מבוא למספרים - טבעיים, שלמים, רציונאליים, ממשיים.
*[[מדיה:22OdHedva1Quiz.pdf|בוחן סמסטר א' תשפ"ג אודיאסה]], [[מדיה:22OdHedva1QuizSol.pdf|פתרון]]
*שורש 2, 0.999.
*[[מדיה:22OdHedva1Quiz2.pdf|בוחן שני סמסטר א' תשפ"ג אודיאסה]], [[מדיה:22OdHedva1Quiz2Sol.pdf|פתרון]]
*חזקות.
*לוגריתמים.
*מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
**<math>\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}</math>
**<math>\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100}</math>
**<math>\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x,\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x</math>
**<math>\lim_{x\to\infty}x^2-x</math>


==הרצאה 2==
= קבצי PDF של שיעורי הבית שנמצאים במודל (לשעבר XI)=
*כמתים, שלילת כמתים.
שימו לב שבתרגלי ה XI יש חלקים שמוגרלים רנדומית ולכן קבצי ה PDF לא יראו אחד לאחד כמו התרגילים ב XI (התבנית תהיה זהה, המספרים לא בהכרח)
*חסמים.
==הרצאה 3==
*ברציונאליים אין לכל קבוצה חסומה מלעיל חסם עליון.
*הגדרת הגבול של סדרה במובן הצר.
==הרצאה 4==


*גבול הוא יחיד.
**נניח בשלילה שיש שני גבולות שונים. החל משלב מסויים כל איברי הסדרה גדולים מאמצע הקטע בין שני הגבולות וגם קטנים ממנו, בסתירה.
*הסדרה הקבועה.
*כל סדרה המתכנסת במובן הצר חסומה.
*אריתמטיקה (חשבון) גבולות.
**(אי שיוויון המשולש.)
**סכום.
**מכפלה.
**חלוקה (תרגיל לבית).


==הרצאה 5==
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex1.pdf|תרגיל 1]]
*התכנסות במובן הרחב.
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex2.pdf|תרגיל 2]]
*אחד חלקי 'שואפת לאינסוף' היא אפיסה, ההפך לא נכון.
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex3.pdf|תרגיל 3]]
*סנדביץ' וחצי סדנביץ'.
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex4.pdf|תרגיל 4]]
*<math>a_n\to 0 \iff |a_n|\to 0</math>
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex5.pdf|תרגיל 5]]
*חסומה כפול אפיסה היא אפיסה.
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex6.pdf|תרגיל 6]]
 
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex7.pdf|תרגיל 7]]
==הרצאה 6==
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex8.pdf|תרגיל 8]]
*אינדוקציה.
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex9.pdf|תרגיל 9]]
*ברנולי - אקספוננט חיובי שואף לאפס, אחד או אינסוף.
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex10.pdf|תרגיל 10]]
*אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex11.pdf|תרגיל 11]]
**חסומה כפול אפיסה = אפיסה
*[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex12.pdf|תרגיל 12]]
**חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
**<math>\infty+\infty=\infty</math>
**<math>\infty\cdot\infty=\infty</math>
**<math>\infty^\infty=\infty</math>
**<math>\frac{1}{0}\neq\infty</math>
**<math>\frac{1}{0^+}=\infty</math>
**<math>0^\infty = 0</math>
**אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
**אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
**יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
**אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
**אם <math>a>1</math> אזי <math>a^\infty=\infty</math>
*המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
**<math>\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty</math>
*מבחן המנה (ללא הוכחה).
*הגבול של השורש הn של n.
 
==הרצאה 7==
*סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת.
*[[המספר e]].
*<math>2<e<4</math>.
*אם <math>a_n\to\infty</math> אזי <math>\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e</math>
**<math>[a_n]\leq a_n \leq [a_n]+1</math>, כאשר <math>[a_n]</math> הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל<math>a_n</math>.
**<math>\left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_n]}\leq\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\leq \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}</math>
**שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.
*אם <math>a_n\to -\infty</math> אזי <math>\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e</math>
**ראשית <math>\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\to \frac{1}{e}</math> (הוכחה בקישור לערך על המספר e).
**כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם.
 
 
*אם <math>a_n\to 1</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)}</math>
**<math>a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}</math>.
**<math>\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e</math> בין אם <math>a_n-1</math> שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
**שימו לב שאם <math>a_n=1</math>, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב<math>a_n-1</math> ששווה אפס.
 
 
*דוגמא:
**<math>\lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3</math>
 
==הרצאה 8==
*פונקציות וגבולות של פונקציות, לפי קושי ולפי היינה.
==הרצאה 9==
*הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
**<math>sin^2(x)+cos^2(x)=1</math>
**<math>sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x)</math>
**<math>sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)</math>
**<math>sin(2x)=2sin(x)cos(x),cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)</math>
 
 
 
 
*[[קובץ:Sin(x)_over_x.png|400px|link=https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A9%D7%9C_sin(x)/x]]
**עבור זוית <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math> שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
**<math>S_{\triangle AOB}<S_{\bigcirc AOB}<S_{\triangle AOD}</math>
**<math>\frac{sin(x)}{2}<\frac{x}{2}<\frac{tan(x)}{2}</math>
***כיוון ש<math>0<sin(x)<x</math> בתחום <math>(0,\frac{\pi}{2})</math>, נובע לפי סנדוויץ' ש<math>\lim_{x\to 0^+}sin(x)=0</math>.
***כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
***כעת בתחום <math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> הקוסינוס חיובית ולכן <math>cos(x)=\sqrt{1-sin^2(x)}</math> ונובע כי <math>\lim_{x\to 0}cos(x)=1</math>.
**נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
**<math>1<\frac{x}{sin(x)}<\frac{1}{cos(x)}</math>
**לפי כלל הסנדביץ <math>\lim_{x\to 0^+}\frac{sin(x)}{x}=1</math>
**כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.


=נושאי ההרצאות=


*ראינו ש<math>\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1</math>.
*שימו לב ש<math>\lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0</math>, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.


==הרצאה 10==
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hltzlnH9FvT-1NICRjcASiu פלייליסט של ההרצאות תשפ"א]
*תתי סדרות וגבולות חלקיים (ללא הוכחה)
**סדרה מתכנסת לגבול אם"ם הגבול החלקי העליון והתחתון שווים לו.
**אם ניתן לחלק סדרה לתתי סדרות שכולן מתכנסות לאותו גבול, אזי זה גבול הסדרה.
*מסקנה: גבול של פונקציה קיים בנקודה אם"ם הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים לו.




*גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
==הרצאות 1-2 חסמים==
**<math>f(x)=\frac{x}{x}, g(x)=0</math> מתקיים כי <math>\lim_{x\to 0}f(x)=1,\lim_{x\to 2}g(x)=0</math> אבל <math>\lim_{x\to 2}f(g(x))\neq 1</math>.
פרק 1 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com)
*רציפות.
*טענה: אם f רציפה ב<math>x_0</math> אזי לכל סדרה <math>x_n\to x_0</math> (גם אם אינה שונה מ<math>x_0</math>) מתקיים כי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>.
*הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב<math>x_0</math> ותהי g רציפה ב<math>f(x_0)</math>. אזי <math>g\circ f</math> רציפה ב<math>x_0</math>.
**הוכחה:
**תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> אזי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>
**לפי הטענה הקודמת, <math>g(f(x_n))\to g(f(x_0))</math>.




*מיון אי רציפות.
== הרצאות 3-7 סדרות==
**רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
פרק 2 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com), הטיפול בתתי סדרות יהיה חלקי יותר בקורס הזה.
**סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
**קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
**עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.


==הרצאה 11==
*הרצאה 3 - הגדרת הגבול במובן הצר והרחב
===הגדרת הנגזרת===
*הרצאה 4 - תכונות של הגדרת הגבול ומבוא לחשבון גבולות
*<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
*הרצאה 5 - כלים לחישוב גבולות
*<math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>
*הרצאה 6 - חשבון גבולות מורחב
**הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:
*הרצאה 7 - סדרות מונוטוניות והמספר e
**נניח כי <math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)</math> ונוכיח כי <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>, והוכחה דומה בכיוון ההפוך.
**תהי <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> נגדיר את הסדרה <math>0\neq h_n=x_n-x_0\to 0</math>.
**כיוון ש<math>\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\to f'(x_0)</math> נובע כי <math>\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(x_0)</math>.
*אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה:
**צ"ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math>
**לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=0</math>
**לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f'(x_0)\cdot 0 = 0</math>
*פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס
**<math>(|x|)'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\frac{|h|}{h}</math> וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.
**ניתן לשים לב גם ש<math>|x|=\sqrt{x^2}</math>, וכמו כן נראה בהמשך כי<math>\sqrt{x}</math> אינה גזירה באפס.


===הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות===
==הרצאות 8-10 פונקציות==
*טריגו:
פרק 4 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com)
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{1-cos(h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin^2(h)}{h(1+cos(h))}=\lim_{h\to 0}sin(h)\cdot \frac{sin(h)}{h}\cdot \frac{1}{1+cos(h)}=0\cdot 1 \cdot \frac{1}{2}=0</math>
**<math>(sin(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}sin(x)\cdot \frac{cos(h)-1}{h} + cos(x)\cdot \frac{sin(h)}{h}=cos(x)</math>
**באופן דומה <math>(cos(x))'=-sin(x)</math>
*לוג:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e)</math>
***המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.
***(בפרט נובע כי <math>\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1</math>.)
**<math>(log(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{log(x+h)-log(x)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{log\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}=\frac{log(e)}{x}</math>
***בפרט נובע כי <math>(ln(x))' = \frac{1}{x}</math>
*אקספוננט:
**<math>\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} = \{t=a^h-1, h=log_a(1+t)\} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{log_a(1+t)} = \frac{1}{log_a(e)} = \frac{1}{\frac{ln(e)}{ln(a)}}=ln(a)</math>
**<math>(a^x)' = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}= \lim_{h\to 0}a^x\cdot \frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot ln(a)</math>
***בפרט נובע כי <math>(e^x)'=e^x</math>.
*חזקה:
**<math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> לכל <math>\alpha\in \mathbb{R}</math>, הוכחה בהמשך.
***בפרט:
***<math>(1)'=0</math>
***<math>(\frac{1}{x})' = (x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}</math>
***<math>(\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>


==הרצאה 12==
*הרצאה 8 - הגדרות הגבול של פונקציה לפי קושי ולפי היינה
===נגזרת של מכפלה בקבוע, סכום ומכפלת פונקציות===
*הרצאה 9 - הפונקציות הטריגונומטריות
תהיינה <math>f,g</math> גזירות בנקודה x.
*הרצאה 10 - רציפות, אי רציפות, גבול של הרכבה
*<math>(cf)'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}= cf'(x)</math>
*<math>(f+g)'(x)= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}=f'(x)+g'(x)</math>
*<math>(f\cdot g)'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)- f(x)g(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} =</math>
:<math>=\lim_{h\to 0}g(x+h)\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+ f(x)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g(x)f'(x)+f(x)g'(x) </math>
*שימו לב ש<math>g(x+h)\to g(x)</math> כיוון שg רציפה בx, כיוון שהיא גזירה בx.


==הרצאות 11-13 גזירות==
פרק 5 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com)


===נגזרת של הרכבה===
*הרצאה 11 - הגדרת הנגזרת ונגזרת של פונקציות אלמנטריות
תהי f גזירה ב<math>x_0</math> ותהי g הגזירה ב<math>f(x_0)</math>:
*הרצאה 12 - נוסחאות הגזירה
*<math>(g\circ f)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}</math>
*הרצאה 13 - נגזרת ההופכית
*תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math>.
*רוצים לומר ש<math>\frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{f(x_n)-f(x_0)}\cdot \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math>.
*אמנם <math>f(x_n)\to f(x_0)</math> בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש<math>f(x_n)\neq f(x_0)</math> ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.
*אם יש תת סדרה <math>a_n</math> של <math>x_n</math> עבורה <math>f(a_n)=f(x_0)</math> אזי <math>\frac{f(a_n)-f(x_0)}{a_n-x_0}=0</math> ולכן <math>f'(x_0)=0</math>.
*לכן <math>g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)=0</math>.
*כמו כן, <math>\frac{g(f(a_n))-g(f(x_0))}{a_n-x_0}=0</math>.
*לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math>
*סה"כ <math>(g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math>.




===נגזרת של חזקה===
==הרצאות 14-17 חקירה==
*עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(x^\alpha)'=(e^{ln\left(x^\alpha\right)})' = (e^{\alpha\cdot ln(x)})' = e^{\alpha\cdot ln(x)}\cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}</math>
פרק 6 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com)
*דוגמא: חישוב הנגזרת של <math>x^x</math>


===נגזרת מנה===
*הרצאה 14 - משפט ערך הביניים
תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש <math>g(x)\neq 0</math>:
*הרצאה 15 - ויירשטראס, פרמה, רול, לגראנז', קושי
*נזכור כי <math>(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}</math>
*הרצאה 16 - הוכחת משפט קושי, קשר בין הנגזרת למונוטוניות
*אזי בנקודה x מתקיים: <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\left(f\cdot \frac{1}{g}\right)' = f'\cdot \frac{1}{g} + f\cdot \frac{-g'}{g^2} = \frac{f'g-g'f}{g^2}</math>
*הרצאה 17 - כלל לופיטל


==הרצאה 13==
==הרצאה 18 פולינום טיילור==
*הגדרה:
פרק 6 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)
*פונקציה f נקראית רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אם f רציפה בכל נקודה בקטע <math>(a,b)</math> ובנוסף <math>\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)</math> וגם <math>\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)</math>


*פולינום טיילור ושארית לגראנז' בלבד


*פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).
==הרצאה 19 הקדמה לאינטגרלים==
**פונקציה <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל
פרק 3 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)
**הפונקציה ההופכית היא <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> ומתקיים כי <math>f(x)=y</math> אם"ם <math>x=f^{-1}(y)</math>


*אינטגרל מסוים ולא מסויים, המשפט היסודי של החדו"א


*טענה: אם <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>, אזי <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> רציפה בקטע <math>[c,d]</math>.
==הרצאות 20-21 שיטות אינטגרציה==
**הוכחה:
פרק 1 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)
**תהי <math>y_0\neq y_n\to y_0</math>, צ"ל ש <math>f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0)</math>
**יהי גבול חלקי <math>x_n=f^{-1}(y_n)\to L</math>.
**אזי <math>f(x_n)=y_n\to y_0</math>.
**מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים <math>f(x_n)\to f(L)</math>.
**לכן <math>f(L)=y_0</math> ולכן <math>L=f^{-1}(y_0)</math>.


==הרצאה 22 סכומי רימן==
פרק 2 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)


*טענה: תהי <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה גזירה בנק' <math>a<x_0<b</math> כך ש <math>f'(x_0)\neq 0</math>.
*עבור פונקציה רציפה סכומי הרימן מתכנסים לאינטגרל המסויים
:אזי <math>f^{-1}</math> גזירה בנק' <math>f(x_0)</math> ומתקיים כי
*אורך עקומה, נפח גוף סיבוב
:<math>(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}</math> או בנוסח אחר-
:<math>(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math>
**הוכחה:
**<math>(f^{-1})'(f(x_0)) = \lim_{y\to f(x_0)}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(x_0))}{y-f(x_0)}</math>
**תהי <math>f(x_0)\neq y_n\ to f(x_0)</math> ונסמן <math>x_n=f^{-1}(y_n)</math>.
**אזי מתוך רציפות וחח"ע נובע כי <math>x_0\neq x_n\to f^{-1}(f(x_0))=x_0</math>
**<math>\frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(x_0))}{y_n-f(x_0)} = \frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)} \to \frac{1}{f'(x_0)}</math>


*פונקציה הופכית, נגזרת של פונקציה הופכית.
==הרצאות 23-24 אינטגרל לא אמיתי==
פרק 4 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com)


==הרצאה 14==
*הגדרה ומבחני השוואה לאינטגרלים לא אמיתיים
*משפט ערך הביניים.
*תתי סדרות, גבול חלקי עליון ותחתון (כנראה ללא הוכחה).
*משפטי ויירשטראס.
==הרצאה 15==
*משפט פרמה.
*משפט רול.
*משפט לגראנז'.
*משפט לגראנז' המוכלל.
==הרצאה 16==
*כלל לופיטל (הוכחה לחלק מהמקרים).
*כיצד להעזר בלופיטל בכל אחד מהמקרים הבעייתיים.
==הרצאה 17==
*פולינום טיילור.
*שארית לגראנז' בפולינום טיילור.
==הרצאה 18==
*אינטגרל - מסויים ולא מסוים.
*הצגת נוסחאת ניוטון לייבניץ - הוכחה עם הערך הממוצע האינטגרלי.
==הרצאה 19==
*אינטגרציה בחלקים.
*שיטת ההצבה.
==הרצאה 20==
*אינטגרל על פונקציה רציונאלית.
==הרצאה 21==
*סכומי רימן.
*אורך עקומה, נפח גוף סיבוב.
==הרצאה 22==
*אינטגרלים לא אמיתיים.
*מבחני התכנסות.

גרסה אחרונה מ־14:12, 2 ביולי 2024

מבחנים מהעבר

בחנים

קבצי PDF של שיעורי הבית שנמצאים במודל (לשעבר XI)

שימו לב שבתרגלי ה XI יש חלקים שמוגרלים רנדומית ולכן קבצי ה PDF לא יראו אחד לאחד כמו התרגילים ב XI (התבנית תהיה זהה, המספרים לא בהכרח)


נושאי ההרצאות

פלייליסט של ההרצאות תשפ"א


הרצאות 1-2 חסמים

פרק 1 בקישור הבא (https://calc1.math-wiki.com)


הרצאות 3-7 סדרות

פרק 2 בקישור הבא (https://calc1.math-wiki.com), הטיפול בתתי סדרות יהיה חלקי יותר בקורס הזה.

  • הרצאה 3 - הגדרת הגבול במובן הצר והרחב
  • הרצאה 4 - תכונות של הגדרת הגבול ומבוא לחשבון גבולות
  • הרצאה 5 - כלים לחישוב גבולות
  • הרצאה 6 - חשבון גבולות מורחב
  • הרצאה 7 - סדרות מונוטוניות והמספר e

הרצאות 8-10 פונקציות

פרק 4 בקישור הבא (https://calc1.math-wiki.com)

  • הרצאה 8 - הגדרות הגבול של פונקציה לפי קושי ולפי היינה
  • הרצאה 9 - הפונקציות הטריגונומטריות
  • הרצאה 10 - רציפות, אי רציפות, גבול של הרכבה

הרצאות 11-13 גזירות

פרק 5 בקישור הבא (https://calc1.math-wiki.com)

  • הרצאה 11 - הגדרת הנגזרת ונגזרת של פונקציות אלמנטריות
  • הרצאה 12 - נוסחאות הגזירה
  • הרצאה 13 - נגזרת ההופכית


הרצאות 14-17 חקירה

פרק 6 בקישור הבא (https://calc1.math-wiki.com)

  • הרצאה 14 - משפט ערך הביניים
  • הרצאה 15 - ויירשטראס, פרמה, רול, לגראנז', קושי
  • הרצאה 16 - הוכחת משפט קושי, קשר בין הנגזרת למונוטוניות
  • הרצאה 17 - כלל לופיטל

הרצאה 18 פולינום טיילור

פרק 6 בקישור הבא (https://calc2.math-wiki.com)

  • פולינום טיילור ושארית לגראנז' בלבד

הרצאה 19 הקדמה לאינטגרלים

פרק 3 בקישור הבא (https://calc2.math-wiki.com)

  • אינטגרל מסוים ולא מסויים, המשפט היסודי של החדו"א

הרצאות 20-21 שיטות אינטגרציה

פרק 1 בקישור הבא (https://calc2.math-wiki.com)

הרצאה 22 סכומי רימן

פרק 2 בקישור הבא (https://calc2.math-wiki.com)

  • עבור פונקציה רציפה סכומי הרימן מתכנסים לאינטגרל המסויים
  • אורך עקומה, נפח גוף סיבוב

הרצאות 23-24 אינטגרל לא אמיתי

פרק 4 בקישור הבא (https://calc2.math-wiki.com)

  • הגדרה ומבחני השוואה לאינטגרלים לא אמיתיים
אוחזר מתוך "https://math-wiki.com/index.php?title=83-112_חדו%22א_1_להנדסה/נושאי_הקורס&oldid=90068"