|
|
| (69 גרסאות ביניים של 4 משתמשים אינן מוצגות) |
| שורה 1: |
שורה 1: |
| [[קטגוריה:מערכי לימוד]] | | [[קטגוריה:מערכי לימוד]] |
| =מבחנים מהעבר= | | =מבחנים מהעבר= |
| *[[מדיה: BIU_Hedva1_15_A.pdf|מבחן מועד א תשע"ו]] | | *[[מדיה: BIU_Hedva1_15_A.pdf|מבחן מועד א תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_A_sol.pdf|פתרון]] |
| **[[מדיה:BIU_Hedva1_15_A_sol.pdf|פתרון]]
| | *[[מדיה:BIU_Hedva1_15_B.pdf|מבחן מועד ב תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_BSol.pdf|פתרון]] |
| *[[מדיה:BIU_Hedva1_15_B.pdf|מבחן מועד ב תשע"ו]] | | *[[מדיה:BIU_Hedva1_15_C.pdf|מבחן מועד ג תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_CSol.pdf|פתרון]] |
| *[[מדיה:BIU_Hedva1_15_C.pdf|מבחן מועד ג תשע"ו]] | | *[[מדיה:88112test2016.pdf |מבחן דמה תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dema_Sol.pdf|פתרון]] |
| *[[מדיה:88112test2016.pdf |מבחן דמה תשע"ו]] | | *[[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dugma.pdf|מבחן לדוגמה תשע"ו]], [[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dugma_Sol.pdf|פתרון]] |
| **[[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dema_Sol.pdf|פתרון]]
| | *[[מדיה:17EngInfi1DumbTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]], [[מדיה:17EngInfi1DumbTestSol.pdf|פתרון עם תוספת של שאלות לא קשורות]] |
| *[[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dugma.pdf|מבחן לדוגמה תשע"ו]] | | *[[מדיה:17EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ז]], [[מדיה:17EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]] |
| **[[מדיה:BIU_Hedva1_15_Dugma_Sol.pdf|פתרון]]
| | *[[מדיה:17EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ז]], [[מדיה:17EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]] |
| *[[מדיה:17EngInfi1DumbTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]] | | *[[מדיה:17EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ז]], [[מדיה:17EngHedva1TestCSol.pdf|פתרון]] |
| *[[מדיה:17EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ז]] | | *[[מדיה:18Hedva1EngExmTest.pdf|מבחן דמה תשע"ח]], [[מדיה:18Hedva1EngExmTestSol.pdf|פתרון]] |
| **[[מדיה:17EngHedva1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשע"ז]]
| | *[[מדיה:18EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ח]], [[מדיה:18EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]] |
| *[[מדיה:17EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ז]] | | *[[מדיה:18EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ח]], [[מדיה:18EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]] |
| *[[מדיה:17EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ז]] | | *[[מדיה:18EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ח]], [[מדיה:18EngHedva1TestCSol.pdf|פתרון]] |
| *[[מדיה:18Hedva1EngExmTest.pdf|מבחן דמה תשע"ח]] | | *[[מדיה:19EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ט]], [[מדיה:19EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]] |
| *[[מדיה:18EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ח]] | | *[[מדיה:19EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ט]], [[מדיה:19EngHedva1TestBRealSol.pdf|פתרון]] |
| **[[מדיה:18EngHedva1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשע"ח]]
| | *[[מדיה:19AvivEngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר אביב תשע"ט]], [[מדיה:19AvivEngHedva1TestASol.pdf|פתרון]] |
| *[[מדיה:18EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ח]] | | *[[מדיה:19AvivEngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר אביב תשע"ט]], [[מדיה:19EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]] |
| *[[מדיה:18EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשע"ח]] | | *[[מדיה:20EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תש"ף]], [[מדיה:20EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]] |
| *[[מדיה:19EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ט]] | | *[[מדיה:20EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תש"ף]], [[מדיה:20EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]] |
| **[[מדיה:19EngHedva1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשע"ט]]
| | *[[מדיה:21EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:21EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]] |
| *[[מדיה:19EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ט]] | | *[[מדיה:21EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"א]], [[מדיה:21EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]] |
| *[[מדיה:19AvivEngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר אביב תשע"ט]] | | *[[מדיה:21EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשפ"א]], [[מדיה:21EngHedva1TestCSol.pdf|פתרון]] |
| *[[מדיה:19AvivEngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר אביב תשע"ט]] | | *[[מדיה:21AvivEngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' סמסטר אביב תשפ"א]], [[מדיה:21AvivEngHedva1TestASol.pdf|פתרון]] |
| *[[מדיה:20EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תש"ף]] | | *[[מדיה:21AvivEngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' סמסטר אביב תשפ"א]], [[מדיה:21AvivEngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]] |
| **[[מדיה:20EngHedva1TestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תש"ף]] | | *[[מדיה:22OdHedva1TestDumb.pdf|מבחן דמה אודיסאה תשפ"ב]], [[מדיה:22OdHedva1TestDumbSol.pdf|פתרון]] |
| | *[[מדיה:22OdHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' אודיסאה תשפ"ב]], [[מדיה:22OdHedva1TestASol.pdf|פתרון]] |
| | *[[מדיה:22OdHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' אודיסאה תשפ"ב]], [[מדיה:22OdHedva1TestBSol.pdf|פתרון]] |
| | *[[מדיה:22EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ב]], [[מדיה:22EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]] |
| | *[[מדיה:22EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ב]], [[מדיה:22EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]] |
| | *[[מדיה:22EngHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' תשפ"ב]], [[מדיה:22EngHedva1TestCSol.pdf|פתרון]] |
| | *[[מדיה:22AvivEngHedva1TestQ.pdf|מבחן אמצע סמסטר אביב תשפ"ב]], [[מדיה:22AvivEngHedva1TestQSol.pdf|פתרון]] |
| | *[[מדיה:22AvivEngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א סמסטר אביב תשפ"ב]] |
| | *[[מדיה:22AvivEngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב סמסטר אביב תשפ"ב]], [[מדיה:22AvivEngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]] |
| | *[[מדיה:23EngHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ג]], [[מדיה:23EngHedva1TestASol.pdf|פתרון]] |
| | *[[מדיה:23EngHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ג]], [[מדיה:23EngHedva1TestBSol.pdf|פתרון]] |
| | *[[מדיה:23OdHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' אודיסאה תשפ"ג]], [[מדיה:23OdHedva1TestASol.pdf|פתרון]] |
| | *[[מדיה:23OdHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' אודיסאה תשפ"ג]], [[מדיה:23OdHedva1TestBSol.pdf|פתרון]] |
| | *[[מדיה:23OdHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' אודיסאה תשפ"ג]], [[מדיה:23OdHedva1TestCSol.pdf|פתרון]] |
| | *[[מדיה:23OdHedva1TestD.pdf|מבחן מועד ד' אודיסאה תשפ"ג]], [[מדיה:23OdHedva1TestDSol.pdf|פתרון]] |
| | *[[מדיה:24OdHedva1TestA.pdf|מבחן מועד א' אודיסאה תשפ"ד]], [[מדיה:24OdHedva1TestASol.pdf|פתרון]] |
| | *[[מדיה:24OdHedva1TestB.pdf|מבחן מועד ב' אודיסאה תשפ"ד]], |
| | *[[מדיה:24OdHedva1TestC.pdf|מבחן מועד ג' אודיסאה תשפ"ד]], |
|
| |
|
| = קבצי PDF של שיעורי הבית שנמצאים ב XI (וב XI מגישים!)= | | ===בחנים=== |
| | *[[מדיה:21EngHedva1Quiz.pdf|בוחן סמסטר ב' תשפ"א]], [[מדיה:21EngHedva1QuizSol.pdf|פתרון]] |
| | *[[מדיה:22EngHedva1Quiz.pdf|בוחן סמסטר א' תשפ"ג]], [[מדיה:22EngHedva1QuizSol.pdf|פתרון]] |
| | *[[מדיה:22OdHedva1Quiz.pdf|בוחן סמסטר א' תשפ"ג אודיאסה]], [[מדיה:22OdHedva1QuizSol.pdf|פתרון]] |
| | *[[מדיה:22OdHedva1Quiz2.pdf|בוחן שני סמסטר א' תשפ"ג אודיאסה]], [[מדיה:22OdHedva1Quiz2Sol.pdf|פתרון]] |
| | |
| | = קבצי PDF של שיעורי הבית שנמצאים במודל (לשעבר XI)= |
| שימו לב שבתרגלי ה XI יש חלקים שמוגרלים רנדומית ולכן קבצי ה PDF לא יראו אחד לאחד כמו התרגילים ב XI (התבנית תהיה זהה, המספרים לא בהכרח) | | שימו לב שבתרגלי ה XI יש חלקים שמוגרלים רנדומית ולכן קבצי ה PDF לא יראו אחד לאחד כמו התרגילים ב XI (התבנית תהיה זהה, המספרים לא בהכרח) |
| | |
|
| |
|
| *[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex1.pdf|תרגיל 1]] | | *[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex1.pdf|תרגיל 1]] |
| | *[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex2.pdf|תרגיל 2]] |
| | *[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex3.pdf|תרגיל 3]] |
| | *[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex4.pdf|תרגיל 4]] |
| | *[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex5.pdf|תרגיל 5]] |
| | *[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex6.pdf|תרגיל 6]] |
| | *[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex7.pdf|תרגיל 7]] |
| | *[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex8.pdf|תרגיל 8]] |
| | *[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex9.pdf|תרגיל 9]] |
| | *[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex10.pdf|תרגיל 10]] |
| | *[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex11.pdf|תרגיל 11]] |
| | *[[מדיה:BIU_Eng_Hedva1_2021a_ex12.pdf|תרגיל 12]] |
|
| |
|
| =נושאי ההרצאות= | | =נושאי ההרצאות= |
| שימו לב: נושאי ההרצאות יעודכנו במהלך הסמסטר לפי קצב ההתקדמות בפועל.
| |
| ==הרצאה 1==
| |
| *מבוא למספרים - טבעיים, שלמים, רציונאליים, ממשיים.
| |
| *שורש 2, 0.999.
| |
| *חזקות.
| |
| *לוגריתמים.
| |
| *מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
| |
| **<math>\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}</math>
| |
| **<math>\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100}</math>
| |
| **<math>\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x,\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x</math>
| |
| **<math>\lim_{x\to\infty}x^2-x</math>
| |
|
| |
| ==הרצאה 2==
| |
| *כמתים, שלילת כמתים.
| |
| *חסמים.
| |
| ==הרצאה 3==
| |
| *ברציונאליים אין לכל קבוצה חסומה מלעיל חסם עליון.
| |
| *הגדרת הגבול של סדרה במובן הצר.
| |
| ==הרצאה 4==
| |
|
| |
| *גבול הוא יחיד.
| |
| **נניח בשלילה שיש שני גבולות שונים. החל משלב מסויים כל איברי הסדרה גדולים מאמצע הקטע בין שני הגבולות וגם קטנים ממנו, בסתירה.
| |
| *הסדרה הקבועה.
| |
| *כל סדרה המתכנסת במובן הצר חסומה.
| |
| *אריתמטיקה (חשבון) גבולות.
| |
| **(אי שיוויון המשולש.)
| |
| **סכום.
| |
| **מכפלה.
| |
| **חלוקה (תרגיל לבית).
| |
|
| |
| ==הרצאה 5==
| |
| *התכנסות במובן הרחב.
| |
| *אחד חלקי 'שואפת לאינסוף' היא אפיסה, ההפך לא נכון.
| |
| *סנדביץ' וחצי סדנביץ'.
| |
| *<math>a_n\to 0 \iff |a_n|\to 0</math>
| |
| *חסומה כפול אפיסה היא אפיסה.
| |
|
| |
| ==הרצאה 6==
| |
| *אינדוקציה.
| |
| *ברנולי - אקספוננט חיובי שואף לאפס, אחד או אינסוף.
| |
| *אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
| |
| **חסומה כפול אפיסה = אפיסה
| |
| **חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
| |
| **<math>\infty+\infty=\infty</math>
| |
| **<math>\infty\cdot\infty=\infty</math>
| |
| **<math>\infty^\infty=\infty</math>
| |
| **<math>\frac{1}{0}\neq\infty</math>
| |
| **<math>\frac{1}{0^+}=\infty</math>
| |
| **<math>0^\infty = 0</math>
| |
| **אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
| |
| **אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
| |
| **יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
| |
| **אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
| |
| **אם <math>a>1</math> אזי <math>a^\infty=\infty</math>
| |
| **חזקת סדרות שואפת לחזקת הגבולות.
| |
| *המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
| |
| **<math>\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty</math>
| |
| *מבחן המנה ([[אי-שוויון הממוצעים]]).
| |
| *הגבול של השורש הn של n.
| |
|
| |
| ==הרצאה 7==
| |
| *סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת.
| |
| *[[המספר e]] (הוכחות בעזרת [[אי-שוויון הממוצעים]]).
| |
| *<math>2<e<4</math>.
| |
| *אם <math>a_n\to\infty</math> אזי <math>\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e</math>
| |
| **<math>[a_n]\leq a_n \leq [a_n]+1</math>, כאשר <math>[a_n]</math> הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל<math>a_n</math>.
| |
| **<math>\left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_n]}\leq\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\leq \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}</math>
| |
| **שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.
| |
| *אם <math>a_n\to -\infty</math> אזי <math>\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e</math>
| |
| **ראשית <math>\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\to \frac{1}{e}</math> (הוכחה בקישור לערך על המספר e).
| |
| **כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם.
| |
|
| |
|
| |
| *אם <math>a_n\to 1</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)}</math>
| |
| **<math>a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}</math>.
| |
| **<math>\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e</math> בין אם <math>a_n-1</math> שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
| |
| **שימו לב שאם <math>a_n=1</math>, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב<math>a_n-1</math> ששווה אפס.
| |
|
| |
|
| |
| *דוגמא:
| |
| **<math>\lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3</math>
| |
|
| |
| ==הרצאה 8==
| |
| *פונקציות וגבולות של פונקציות, לפי קושי ולפי היינה.
| |
|
| |
| *תתי סדרות וגבולות חלקיים (ללא הוכחה)
| |
| **סדרה מתכנסת לגבול אם"ם הגבול החלקי העליון והתחתון שווים לו.
| |
| **אם ניתן לחלק סדרה לתתי סדרות שכולן מתכנסות לאותו גבול, אזי זה גבול הסדרה.
| |
| *מסקנה: גבול של פונקציה קיים בנקודה אם"ם הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים לו.
| |
|
| |
| ==הרצאה 9==
| |
| *הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
| |
| **<math>sin^2(x)+cos^2(x)=1</math>
| |
| **<math>sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x)</math>
| |
| **<math>sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)</math>
| |
| **<math>sin(2x)=2sin(x)cos(x),cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)</math>
| |
|
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| *[[קובץ:Sin(x)_over_x.png|400px|link=https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%92%D7%91%D7%95%D7%9C_%D7%A9%D7%9C_sin(x)/x]]
| |
| **עבור זוית <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math> שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
| |
| **<math>S_{\triangle AOB}<S_{\bigcirc AOB}<S_{\triangle AOD}</math>
| |
| **<math>\frac{sin(x)}{2}<\frac{x}{2}<\frac{tan(x)}{2}</math>
| |
| ***כיוון ש<math>0<sin(x)<x</math> בתחום <math>(0,\frac{\pi}{2})</math>, נובע לפי סנדוויץ' ש<math>\lim_{x\to 0^+}sin(x)=0</math>.
| |
| ***כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
| |
| ***כעת בתחום <math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math> הקוסינוס חיובית ולכן <math>cos(x)=\sqrt{1-sin^2(x)}</math> ונובע כי <math>\lim_{x\to 0}cos(x)=1</math>.
| |
| **נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
| |
| **<math>1<\frac{x}{sin(x)}<\frac{1}{cos(x)}</math>
| |
| **לפי כלל הסנדביץ <math>\lim_{x\to 0^+}\frac{sin(x)}{x}=1</math>
| |
| **כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.
| |
|
| |
|
| |
| *ראינו ש<math>\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1</math>.
| |
| *שימו לב ש<math>\lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0</math>, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.
| |
|
| |
| ==הרצאה 10==
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| *גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
| |
| **<math>f(x)=\frac{x}{x}, g(x)=0</math> מתקיים כי <math>\lim_{x\to 0}f(x)=1,\lim_{x\to 2}g(x)=0</math> אבל <math>\lim_{x\to 2}f(g(x))\neq 1</math>.
| |
| *רציפות.
| |
| *טענה: אם f רציפה ב<math>x_0</math> אזי לכל סדרה <math>x_n\to x_0</math> (גם אם אינה שונה מ<math>x_0</math>) מתקיים כי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>.
| |
| *הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב<math>x_0</math> ותהי g רציפה ב<math>f(x_0)</math>. אזי <math>g\circ f</math> רציפה ב<math>x_0</math>.
| |
| **הוכחה:
| |
| **תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> אזי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>
| |
| **לפי הטענה הקודמת, <math>g(f(x_n))\to g(f(x_0))</math>.
| |
|
| |
|
| |
| *מיון אי רציפות.
| |
| **רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
| |
| **סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
| |
| **קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
| |
| **עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.
| |
|
| |
| ==הרצאה 11==
| |
| ===הגדרת הנגזרת===
| |
| *<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
| |
| *<math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>
| |
| **הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:
| |
| **נניח כי <math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)</math> ונוכיח כי <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>, והוכחה דומה בכיוון ההפוך.
| |
| **תהי <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> נגדיר את הסדרה <math>0\neq h_n=x_n-x_0\to 0</math>.
| |
| **כיוון ש<math>\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\to f'(x_0)</math> נובע כי <math>\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(x_0)</math>.
| |
| *אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה:
| |
| **צ"ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)</math>
| |
| **לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=0</math>
| |
| **לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי <math>\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f'(x_0)\cdot 0 = 0</math>
| |
| *פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס
| |
| **<math>(|x|)'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\frac{|h|}{h}</math> וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.
| |
| **ניתן לשים לב גם ש<math>|x|=\sqrt{x^2}</math>, וכמו כן נראה בהמשך כי<math>\sqrt{x}</math> אינה גזירה באפס.
| |
|
| |
| ===הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות===
| |
| *טריגו:
| |
| **<math>\lim_{h\to 0}\frac{1-cos(h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin^2(h)}{h(1+cos(h))}=\lim_{h\to 0}sin(h)\cdot \frac{sin(h)}{h}\cdot \frac{1}{1+cos(h)}=0\cdot 1 \cdot \frac{1}{2}=0</math>
| |
| **<math>(sin(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}sin(x)\cdot \frac{cos(h)-1}{h} + cos(x)\cdot \frac{sin(h)}{h}=cos(x)</math>
| |
| **באופן דומה <math>(cos(x))'=-sin(x)</math>
| |
| *לוג:
| |
| **<math>\lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e)</math>
| |
| ***המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.
| |
| ***(בפרט נובע כי <math>\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1</math>.)
| |
| **<math>(log(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{log(x+h)-log(x)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{log\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}=\frac{log(e)}{x}</math>
| |
| ***בפרט נובע כי <math>(ln(x))' = \frac{1}{x}</math>
| |
| *אקספוננט:
| |
| **<math>\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} = \{t=a^h-1, h=log_a(1+t)\} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{log_a(1+t)} = \frac{1}{log_a(e)} = \frac{1}{\frac{ln(e)}{ln(a)}}=ln(a)</math>
| |
| **<math>(a^x)' = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}= \lim_{h\to 0}a^x\cdot \frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot ln(a)</math>
| |
| ***בפרט נובע כי <math>(e^x)'=e^x</math>.
| |
| *חזקה:
| |
| **<math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> לכל <math>\alpha\in \mathbb{R}</math>, הוכחה בהמשך.
| |
| ***בפרט:
| |
| ***<math>(1)'=0</math>
| |
| ***<math>(\frac{1}{x})' = (x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}</math>
| |
| ***<math>(\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
| |
|
| |
| ==הרצאה 12==
| |
| ===נגזרת של מכפלה בקבוע, סכום ומכפלת פונקציות===
| |
| תהיינה <math>f,g</math> גזירות בנקודה x.
| |
| *<math>(cf)'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}= cf'(x)</math>
| |
| *<math>(f+g)'(x)= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}=f'(x)+g'(x)</math>
| |
| *<math>(f\cdot g)'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)- f(x)g(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} =</math>
| |
| :<math>=\lim_{h\to 0}g(x+h)\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+ f(x)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g(x)f'(x)+f(x)g'(x) </math>
| |
| *שימו לב ש<math>g(x+h)\to g(x)</math> כיוון שg רציפה בx, כיוון שהיא גזירה בx.
| |
|
| |
|
| |
| ===נגזרת של הרכבה===
| |
| תהי f גזירה ב<math>x_0</math> ותהי g הגזירה ב<math>f(x_0)</math>:
| |
| *<math>(g\circ f)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}</math>
| |
| *תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math>.
| |
| *רוצים לומר ש<math>\frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{f(x_n)-f(x_0)}\cdot \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math>.
| |
| *אמנם <math>f(x_n)\to f(x_0)</math> בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש<math>f(x_n)\neq f(x_0)</math> ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.
| |
| *אם יש תת סדרה <math>a_n</math> של <math>x_n</math> עבורה <math>f(a_n)=f(x_0)</math> אזי <math>\frac{f(a_n)-f(x_0)}{a_n-x_0}=0</math> ולכן <math>f'(x_0)=0</math>.
| |
| *לכן <math>g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)=0</math>.
| |
| *כמו כן, <math>\frac{g(f(a_n))-g(f(x_0))}{a_n-x_0}=0</math>.
| |
| *לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math>
| |
| *סה"כ <math>(g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math>.
| |
|
| |
|
|
| |
|
| ===נגזרת של חזקה===
| | [https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hltzlnH9FvT-1NICRjcASiu פלייליסט של ההרצאות תשפ"א] |
| *עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(x^\alpha)'=(e^{ln\left(x^\alpha\right)})' = (e^{\alpha\cdot ln(x)})' = e^{\alpha\cdot ln(x)}\cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}</math>
| |
| *דוגמא: חישוב הנגזרת של <math>x^x</math>
| |
|
| |
|
| ===נגזרת מנה===
| |
| תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש <math>g(x)\neq 0</math>:
| |
| *נזכור כי <math>(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}</math>
| |
| *אזי בנקודה x מתקיים: <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\left(f\cdot \frac{1}{g}\right)' = f'\cdot \frac{1}{g} + f\cdot \frac{-g'}{g^2} = \frac{f'g-g'f}{g^2}</math>
| |
|
| |
|
| ==הרצאה 13== | | ==הרצאות 1-2 חסמים== |
| *הגדרה:
| | פרק 1 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com) |
| *פונקציה f נקראית רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אם f רציפה בכל נקודה בקטע <math>(a,b)</math> ובנוסף <math>\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)</math> וגם <math>\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)</math>
| |
|
| |
|
|
| |
|
| *פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).
| | == הרצאות 3-7 סדרות== |
| **פונקציה <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל
| | פרק 2 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com), הטיפול בתתי סדרות יהיה חלקי יותר בקורס הזה. |
| **הפונקציה ההופכית היא <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> ומתקיים כי <math>f(x)=y</math> אם"ם <math>x=f^{-1}(y)</math>
| |
|
| |
|
| | *הרצאה 3 - הגדרת הגבול במובן הצר והרחב |
| | *הרצאה 4 - תכונות של הגדרת הגבול ומבוא לחשבון גבולות |
| | *הרצאה 5 - כלים לחישוב גבולות |
| | *הרצאה 6 - חשבון גבולות מורחב |
| | *הרצאה 7 - סדרות מונוטוניות והמספר e |
|
| |
|
| *טענה: אם <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>, אזי <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> רציפה בקטע <math>[c,d]</math>.
| | ==הרצאות 8-10 פונקציות== |
| **הוכחה:
| | פרק 4 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com) |
| **תהי <math>y_0\neq y_n\to y_0</math>, צ"ל ש <math>f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0)</math>
| |
| **יהי גבול חלקי <math>x_n=f^{-1}(y_n)\to L</math>.
| |
| **אזי <math>f(x_n)=y_n\to y_0</math>.
| |
| **מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים <math>f(x_n)\to f(L)</math>.
| |
| **לכן <math>f(L)=y_0</math> ולכן <math>L=f^{-1}(y_0)</math>.
| |
|
| |
|
| | *הרצאה 8 - הגדרות הגבול של פונקציה לפי קושי ולפי היינה |
| | *הרצאה 9 - הפונקציות הטריגונומטריות |
| | *הרצאה 10 - רציפות, אי רציפות, גבול של הרכבה |
|
| |
|
| *טענה: תהי <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה ורציפה. ונניח כי היא גזירה בנק' <math>a<x_0<b</math> כך ש <math>f'(x_0)\neq 0</math>.
| | ==הרצאות 11-13 גזירות== |
| :אזי <math>f^{-1}</math> גזירה בנק' <math>f(x_0)</math> ומתקיים כי
| | פרק 5 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com) |
| :<math>(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}</math> או בנוסח אחר-
| |
| :<math>(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math>
| |
| **הוכחה:
| |
| **<math>(f^{-1})'(f(x_0)) = \lim_{y\to f(x_0)}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(x_0))}{y-f(x_0)}</math>
| |
| **תהי <math>f(x_0)\neq y_n\to f(x_0)</math> ונסמן <math>x_n=f^{-1}(y_n)</math>.
| |
| **אזי מתוך רציפות וחח"ע נובע כי <math>x_0\neq x_n\to f^{-1}(f(x_0))=x_0</math>
| |
| **<math>\frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(x_0))}{y_n-f(x_0)} = \frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)} \to \frac{1}{f'(x_0)}</math>
| |
|
| |
|
| | *הרצאה 11 - הגדרת הנגזרת ונגזרת של פונקציות אלמנטריות |
| | *הרצאה 12 - נוסחאות הגזירה |
| | *הרצאה 13 - נגזרת ההופכית |
|
| |
|
| *דוגמא חשובה:
| |
| *<math>tan:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R}</math> הפיכה וההופכית שלה נקראית <math>arctan</math>.
| |
| *<math>tan^2(x)+1 = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1 = \frac{1}{cos^2(x)}</math>
| |
| *<math>arctan'(x) = \frac{1}{\frac{1}{cos^2(arctan(x))}} = \frac{1}{tan^2(arctan(x))+1}=\frac{1}{1+x^2}</math>
| |
|
| |
|
| ==הרצאה 14== | | ==הרצאות 14-17 חקירה== |
| *משפט ערך הביניים.
| | פרק 6 ב[[חדוא 1 - ארז שיינר|קישור הבא]] (https://calc1.math-wiki.com) |
| *תהי f רציפה ב<math>[0,1]</math> כך ש<math>f(1)=2</math>, הוכיחו שקיימת נק' <math>c\in [0,1]</math> עבורה <math>f(c)=\frac{1}{c}</math>
| |
| **נעביר אגף ונביט בפונקציה <math>h(x)=f(x)-\frac{1}{x}</math> שצריך למצוא שורש שלה.
| |
| **<math>h(1)>0</math>.
| |
| **<math>\lim_{x\to 0^+}h(x)=f(0)-\infty=-\infty</math> ולכן קיימת נקודה <math>0<d<1</math> עבורה <math>h(d)<0</math>.
| |
| **לפי משפט ערך הביניים בקטע <math>[d,1]</math> קיימת נק' המאפסת את הפונקציה h.
| |
|
| |
|
| | *הרצאה 14 - משפט ערך הביניים |
| | *הרצאה 15 - ויירשטראס, פרמה, רול, לגראנז', קושי |
| | *הרצאה 16 - הוכחת משפט קושי, קשר בין הנגזרת למונוטוניות |
| | *הרצאה 17 - כלל לופיטל |
|
| |
|
| *לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית.
| | ==הרצאה 18 פולינום טיילור== |
| | פרק 6 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com) |
|
| |
|
| | *פולינום טיילור ושארית לגראנז' בלבד |
|
| |
|
| ==הרצאה 15== | | ==הרצאה 19 הקדמה לאינטגרלים== |
| *משפטי ויירשטראס.
| | פרק 3 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com) |
| **פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.
| |
| **פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.
| |
| *משפט פרמה.
| |
| **אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.
| |
| **ההפך אינו נכון.
| |
| *משפט רול.
| |
| **פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בקטע הפתוח.
| |
| **לפולינום יש לכל היותר n שורשים שונים.
| |
| *משפט לגראנז'.
| |
| **פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח מקבלת את השיפוע בין שתי נקודות הקצה בנגזרת בנק' כלשהי.
| |
| *משפט לגראנז' המוכלל.
| |
| **שתי פונקציות רציפות בקטע סגור, גזירות בקטע הפתוח, והנגזרת של האחת אינה מתאפסת. אזי מנת הנגזרות שווה למנת השיפועים בנק' מסויימת.
| |
|
| |
|
| ==הרצאה 16==
| | *אינטגרל מסוים ולא מסויים, המשפט היסודי של החדו"א |
| *הוכחת משפט לגראנז' המוכלל, שמוכיח גם את משפט לגראנז' עצמו כמקרה פרטי. | |
| **ראשית, כיוון ש<math>g'(x)\neq 0</math> בקטע <math>(a,b)</math> נובע לפי רול כי <math>g(a)\neq g(b)</math> ולכן מותר לחלק בהפרש ביניהם.
| |
| **<math>h(x)=f(x)-f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))</math>
| |
| **<math>h(a)=h(b)=0</math> ולכן לפי רול קיימת נק' <math>c\in (a,b)</math> עבורה <math>h'(c)=0</math> וזה מה שרצינו להוכיח.
| |
| **(שימו לב שמותר לחלק ב<math>g'(c)</math>.)
| |
| **עבור <math>g(x)=x</math> נקבל את משפט לאגראנז' הרגיל.
| |
| *פונקציה גזירה עולה אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפס.
| |
| *פונקציה עולה ממש אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפס, ולא מתאפסת על קטע.
| |
|
| |
|
| | ==הרצאות 20-21 שיטות אינטגרציה== |
| | פרק 1 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com) |
|
| |
|
| *כלל לופיטל (הוכחה לאפס חלקי אפס בנקודה סופית).
| | ==הרצאה 22 סכומי רימן== |
| *כיצד להעזר בלופיטל בכל אחד מהמקרים הבעייתיים.
| | פרק 2 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com) |
|
| |
|
| ==הרצאה 17==
| | *עבור פונקציה רציפה סכומי הרימן מתכנסים לאינטגרל המסויים |
| *פולינום טיילור. | | *אורך עקומה, נפח גוף סיבוב |
| *שארית לגראנז' בפולינום טיילור. | |
|
| |
|
| ==הרצאה 18== | | ==הרצאות 23-24 אינטגרל לא אמיתי== |
| | פרק 4 ב[[88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2/שיינר/תקציר הרצאות|קישור הבא]] (https://calc2.math-wiki.com) |
|
| |
|
| ==הרצאה 19==
| | *הגדרה ומבחני השוואה לאינטגרלים לא אמיתיים |
| *אינטגרל - מסויים ולא מסוים. | |
| *הצגת נוסחאת ניוטון לייבניץ - הוכחה עם הערך הממוצע האינטגרלי.
| |
| ==הרצאה 20==
| |
| *אינטגרציה בחלקים.
| |
| *שיטת ההצבה.
| |
| ==הרצאה 21==
| |
| *אינטגרל על פונקציה רציונאלית.
| |
| ==הרצאה 22==
| |
| *סכומי רימן.
| |
| *אורך עקומה, נפח גוף סיבוב.
| |
| ==הרצאה 23==
| |
| *אינטגרלים לא אמיתיים.
| |
| *מבחני התכנסות.
| |
