אינפי 1/מערכי ההרצאה

בדף זה מופיע החומר של הקורס חשבון אינפינטסימלי 1, מסודר לפי נושאים (לא כולל בניית הממשיים). הסימונים, ההגדרות וההוכחות הולכים לפי ההרצאות של פרופ' מרק אגרנובסקי מתשע"ג.

הערת המסכם: השתדלתי פה ושם לנסות לתת אינטואיציה כשהוכחה או הגדרה לא ברורה מספיק. יש מרצים שמעבירים את הקורס בסדר קצת שונה פה ושם ומוכיחים דברים בצורה שונה, אבל עיקר הדברים די זהה בין מרצים ולכן אין צורך להרתע אם בסיכום פה מופיעה הוכחה בצורה שונה משראיתם בכתה. בהצלחה בשנה א', אופק גילון.

החומר לפי נושאים

מבוא - תכונות של ממשיים

• קבוצות מספרים

• חזקות

• ערך מוחלט ואי שיוויונים

• חסמים

סדרות

• סדרות

• סדרות חסומות

• אריתמטיקה של גבולות של סדרות

• גבולות אינסופיים (סדרות)

• אריתמטיקה של גבולות אינסופיים (סדרות)

• משפט הסנדוויץ' (סדרות)

• אי שיוויונים של גבולות (סדרות)

• סדרות מונוטוניות

• מעבר גבול

• סכום של סדרה הנדסית

• אי שיוויון ברנולי

• המספר של אוילר e

• גבול עליון ותחתון

• גבולות חלקיים (כולל את משפט בולצאנו-ויירשטראס)

• סדרות קושי (כולל בין היתר את ההוכחה שהטור ההרמוני מתבדר)

• למת קנטור (חיתוך קטעים)

טורים

• טורים

טורים חיוביים

• מבחן ההשוואה הראשון לטורים

• סימני לנדאו / סימון אסימפטוטי (לרוב לא בחומר אך יכול לעזור להבנת ההוכחות בהמשך)

• מבחן ההשוואה הגבולי לטורים

• מבחן העיבוי לטורים

• מבחן לוגריתמי (לרוב לא בחומר)

• מבחן המנה של דלאמבר לטורים

• מבחן השורש של קושי להתכנסות טורים

טורים כלליים

• התכנסות בהחלט והתכנסות בתנאי

• מבחן לייבניץ להתכנסות טורים

• מבחן דיריכלה להתכנסות טורים

• מבחן אבל להתכנסות טורים

קומוטטיביות ואסוציטיאביות בטור, כפל טורים

• קיבוץ איברים בטור

• התמרת איברים בטור ומשפט רימן

• מכפלת טורים

פונקציות

כלליות

• הגדרת הגבול לפי קושי

• הגדרת הגבול לפי היינה

• שקילות בין הגדרות הגבול של קושי והיינה

• תנאי קושי לקיום גבול של פונקציה

• משפט הסנדוויץ' (פונקציות)

• גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-0

• אריתמטיקה של גבולות של פונקציות

• גבול של פונקציה מונוטונית

• גבולות חד צדדיים

• גבול של הרכבת פונקציות (סופרפוזיציה)

רציפות

• פונקציות רציפות

• מיון נק' אי רציפות

• משפט ערך הביניים

• משפטי וויירשטראס לפונקציות רציפות

• פונקציות רציפות הפיכות

• פונקציות אלמנטריות (האקספוננט, הלוגריתם, והוכחה שסינוס וקוסינוס רציפות)

• רציפות במ"ש

• מאפייני רציפות במ"ש בקטעים

פונקציות גזירות

בסיס

• נגזרת, דיפרנציאל ומשיק

• נגזרות חד צדדיות

• פעולות עם נגזרות

• נגזרת של הרכבת פונקציות (כלל שרשרת)

• נגזרת של פונקציה הפוכה

משפטיים מרכזיים עם נגזרת

• נק' קיצון ומשפט פרמה

• למת רול

• משפט ערך הממוצע של לגרנז'

• משפט הערך הממוצע של קושי

• נגזרת חסומה ורציפות במ"ש

• נק' אי הרציפות של הנגזרת - למת דרבו

• כלל לופיטל

נגזרות מסדר גבוה וטיילור

• נגזרות מסדר גבוה

• כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה מסדר גבוה

• הגדרת פולינום טיילור

• שארית פיאנו של פולינום טיילור

• שארית לגרנז' של פולינום טיילור

• יחידות של פולינום טיילור

• חישוב גבולות עם שארית פיאנו

• פולינום טיילור (סיכום הדברים)

• טור טיילור

חקירת פונקציות

• חקירה של פונקציות מונוטוניות

• אפיון נק' קיצון עפ"י נגזרות מסדר גבוה

• פונקציות קמורות וקעורות